Question

1．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x+b}}{x}$过点（1，e）．
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）当x＞0时，求$\frac{f（x）}{x}$的最小值；
（3）试判断方程f（x）-mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数．

Answer 1

分析 （1）依题意得e^1+b=e，可得b=0，即f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x≠0），求导数，求单调区间．
（2）设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，（x＞0），g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x）}{{x}^{4}}$，利用导数求出单调区间，即可求最值．
（3）方程f（x）-mx=0（m∈R且m为常数）?m=$\frac{f（x）}{x}$=g（x）
利用导数可得函数g（x）在区间（0，2）上递减，在（-∞，0），（2，+∞）递增．画出图象，结合图象求解，

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{{e}^{x+b}}{x}$过点（1，e）．得e^1+b=e，可得b=0，
∴f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x≠0），f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，令f′（x）＞0，得x＞1，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＜0，
y=f（x）的单调增区间是[1，+∞），单调减区间是（-∞，0）．（0，1）．
（2）设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，（x＞0），g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x）}{{x}^{4}}$，令g′（x）=0，解得x=2，
x∈（0，2）时，g′（x）＜0，x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，
∴g（x）在区间（0，2）上递减，在（2，+∞）递增，
∴$\frac{f（x）}{x}$的最小值为g（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
（3）方程f（x）-mx=0（m∈R且m为常数）?m=$\frac{f（x）}{x}$=g（x）
g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x）}{{x}^{4}}$，易知x＜0时，g′（x）＞0．
结合（2）可得函数g（x）在区间（0，2）上递减，在（-∞，0），（2，+∞）递增．
原问题转化为y=m与y=g（x）交点个数，其图象如下：
当m≤0时，方程f（x）-mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数为0；
当0＜m＜$\frac{{e}^{2}}{4}$时，方程f（x）-mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数为1；
当m=$\frac{{e}^{2}}{4}$时，方程f（x）-mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数为2；
当m$＞\frac{{e}^{2}}{4}$时，方程f（x）-mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数为3；

点评 本题考查了导数的综合应用，函数的零点问题，函数与方程思想、数形结合思想，属于难题．