Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁＞0，公比q＞-1，q≠0，设数列{b_n}的通项公式b_n=a_n+1+a_n+2（n∈N^*），数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别记为A_n，B_n，试比较A_n与B_n的大小．

Answer 1

分析：对公比q分类讨论：当q=1时；q=

5 -1

2

时；当q＞

5 -1

2

时，且q≠1时；当-1＜q＜

5 -1

2

时，利用bn=an+1+an+2=an(q+q2)与a_n的大小关系即可．

解答：解：（1）当q=1时，b_n=a_n+1+a_n+2=2a_n＞a_n，∴B_n＞A_n．
（2）当q≠1时，q=

5 -1

2

时，bn=an+1+an+2=an(q+q2)=a_n，∴B_n=A_n．
当q＞

5 -1

2

时，且q≠1时，bn=an+1+an+2=an(q+q2)＞a_n，∴B_n＞A_n．
当-1＜q＜

5 -1

2

时，bn=an+1+an+2=an(q+q2)＜a_n，∴B_n＜A_n．
综上可得：当q＞

5 -1

2

时，B_n＞A_n．
当q=

5 -1

2

时，B_n=A_n．
当-1＜q＜

5 -1

2

时，B_n＜A_n．

点评：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．