Question

已知点M（0，-1），直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有∠AOB=

π

3

，求曲线C的方程；
（2）当实数a为何值时，对任意m∈R，都有

OA

•

OB

为定值T？指出T的值；
（3）设动点P满足

MP

=

OA

+

OB

，当a=-2，m变化时，求点P的轨迹方程；
（4）是否存在常数M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立？如果存在，求出的M得最小值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线方程为y=1，代入曲线C：ax²+y²=2求得A，B的坐标，利用 ∠AOB=

π

3

可求曲线的方程；
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2联立，化简得（a+m²）x²+2mx-1=0，假设点A，B的坐标，利用

OA

•

OB

=T是定值，可求a及T；
（3）将条件

MP

=

OA

+

OB

转化为坐标的形式，从而可表达点P的从而，消去m得点P的轨迹方程；
（4）由（2）知：

OA

•

OB

=

m 2-1

m2+a

+1，求得对于任意的a∈（0，1），m∈R，它的最大值小于2，故取M的值大于2时，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，故存在常数M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立且M得最小值为：2．

解答：解：（1）由题意，直线方程为y=1，代入曲线C：ax²+y²=2可得 A(-

1 a

，1)，B(

1 a

，1)
∵∠AOB=

π

3

，∴tan300 =

1 a

，∴a=3
∴曲线C的方程为3x²+y²=2
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2联立，化简得（a+m²）x²+2mx-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则知 x1+x2=-

2m

m2+a

，x1x2=

-1

m2+a

，
∴x₁x₂+y₁y₂=

-1

m2+a

+（mx₁+1）（mx₂+1）=

m 2-1

m2+a

+1
对任意m∈R，都有

OA

•

OB

=T成立．
得x₁x₂+y₁y₂=T定值，
∴可有a=-1，此时T=2；
（3）由（2）知 x1+x2=

2m

m2-2

，y1+y2=

4m2-4

m2-2

设P（x，y），则（x，y+1）=（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴x=-

2m

m2-2

，y=-

m2+2

m2-2

消去m得：（y-2）²-2x²=1，此即为点P的轨迹方程；
（4）由（2）知：

OA

•

OB

=

m 2-1

m2+a

+1，
对于任意的a∈（0，1），m∈R，它的最大值小于2，
故取M的值大于2时，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，
故存在常数M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，
M得最小值为2．

点评：本题的可得时直线与圆锥曲线的综合问题，解答关键是直线与曲线方程联立解决位置关系问题，计算量大，有难度．