Question

9．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{3}}{x+1}，\frac{1}{2}＜x≤1}\\{-\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}，0≤x≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$和函数g（x）=asin$\frac{π}{6}$x-a+1（a＞0），若存在x₁、x₂∈[0，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• B． [1，2）
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． （1，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 根据给出的函数f（x）的解析式求出其值域为[0，$\frac{1}{2}$]，然后求出函数g（x）在x∈[0，1]上的值域，由存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，说明函数g（x）的最值中至少一个在[0，$\frac{1}{2}$]范围内，最后列式求解a的范围．

解答 解：当 $\frac{1}{2}$＜x≤1时，f（x）=$\frac{{x}^{3}}{x+1}$，f′（x）=$\frac{{3x}^{2}（x+1）{-x}^{3}}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}+{3x}^{2}}{{（x+1）}^{2}}$＞0，∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，1]上单调递增，
故f（x）的值域为（$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{2}$]．
在[0，$\frac{1}{2}$]上，f（x）=$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{6}$x为减函数，f（x）∈[0，$\frac{1}{12}$]，
故函数f（x）在[0，1]上的值域为[0，$\frac{1}{2}$]．
g（x）=asin$\frac{π}{6}$x-a+1（a＞0），当x∈[0，1]时，sin$\frac{π}{6}$x∈[0，$\frac{1}{2}$]，∴g（x）∈[1-a，1-$\frac{1}{2}$a]．
若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，说明函数函数g（x）的最大值与最小值中至少一个在[0，$\frac{1}{2}$]中，
所以0≤1-a≤$\frac{1}{2}$或0≤1-$\frac{a}{2}$≤$\frac{1}{2}$，解得：$\frac{1}{2}$≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，2]，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，考查了数学转化思想，本题把函数的零点的研究转化为元素与集合之间的关系问题，属于中档题．