Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，sinB）共线，求a，b．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由周期公式即可计算得解．
（2）由f（C）=0，可求C的值，由$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$共线得sinB=$\sqrt{2}$sinA，再根据正弦定理得b=$\sqrt{2}a$，再根据c，C的值，利用余弦定理求得a，b的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$
=$\sqrt{2}×$$\frac{1}{2}$sinx-$\sqrt{2}×$$\frac{1-cosx}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（6分）
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）∵f（C）=0，可得：sin（C+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵C∈（0，π），C+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），
∴C+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，可得：C=$\frac{π}{2}$，
又∵向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，sinB）共线，即：sinB=$\sqrt{2}$sinA，
∴b=$\sqrt{2}a$，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$．      …（12分）

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两个向量共线的性质，考查了转化思想，属于中档题．