Question

16．已知函数x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=$\frac{[x-m]}{x-m}$，其中m∈N^*，则给出以下四个结论其中正确是（　　）

• A． 函数f（x）在（m+1，+∞）上的值域为$（\frac{1}{2}，1]$
• B． 函数f（x）的图象关于直线x=m对称
• C． 函数f（x）在（m，+∞）是减函数
• D． 函数f（x）在（m+1，+∞）上的最小值为$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据题意，令t=x-m，对t大于0和小于0进行讨论．即可得到答案．

解答 解：由题意，x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=$\frac{[x-m]}{x-m}$，其中m∈N^*，
令t=x-m，则g（t）=$\frac{[t]}{t}$
当t＞0时，
则当0＜t＜1，即：m＜x＜m+1，[t]=0，此时g（t）=0，
当1≤t＜2，即：m+1≤x＜m+2，[t]=1，此时g（t）=$\frac{1}{t}$，那么：$\frac{1}{2}$＜g（t）≤1，
当2≤t＜3，即：m+2≤x＜m+3，[x]=2，此时g（x）=$\frac{2}{t}$，那么：$\frac{2}{3}$＜g（t）≤1，
…
…
可见函数f（x）在（m+1，+∞）上的值域为（$\frac{1}{2}$，1]．故A对．
显然函数f（x）在（m+1，+∞）上的最小值取不到$\frac{1}{2}$．故D不对．
当t＜0时，
则当-1≤t＜0，即：m-1＜x＜m，[t]=-1，此时g（t）≥1，
当-2≤t＜-1，即：m-2＜x＜m-1，[t]=-2，此时g（t）=$-\frac{2}{t}$，那么：1≤g（t）＜2，
当-3≤t＜-2，即：m-3＜x＜m-2，[x]=-3，此时g（x）=-$\frac{3}{t}$，那么：1≤g（t）＜$\frac{3}{2}$，
…
…
作出函数g（t）的图象．

数形结合：B，C不对．
故选A．

点评 本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（t），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．