Question

4．已知函数f （x）=$\frac{1}{x{\;}^{2}-1}$．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）解x²-1≠0得f（x）的定义域；
（2）函数f（x）在（1，+∞）上为减函数
证法一：求导，分析导函数在（1，+∞）上的符号，可得结论；
证法二：任取a，b∈（1，+∞），且a＜b，作差比较f（a）与f（b）的大小，结合单调性的定义，可得结论；

解答 解：（1）由x²-1≠0得：x≠±1，
故函数f （x）=$\frac{1}{x{\;}^{2}-1}$的定义域为：{x|x≠±1} 
（2）函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，理由如下：
证法一：∵f （x）=$\frac{1}{x{\;}^{2}-1}$．
∴f′（x）=$\frac{-2x}{（{x}^{2}-1）^{2}}$．
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0恒成立，
故函数f（x）在（1，+∞）上为减函数；
证法二：任取a，b∈（1，+∞），且a＜b，
则a²-1＞0，b²-1＞0，b+a＞0，b-a＞0，
则f（a）-f（b）=$\frac{1}{{a}^{2}-1}$-$\frac{1}{{b}^{2}-1}$=$\frac{{（b}^{2}-1）-{（a}^{2}-1）}{{（a}^{2}-1）{（b}^{2}-1）}$=$\frac{{（b}^{\;}-a）•（b+a）}{{（a}^{2}-1）{（b}^{2}-1）}$＞0，
故f（a）＞f（b），
故函数f（x）在（1，+∞）上为减函数；

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的定义域，难度中档．