Question

【题目】已知椭圆C:1(a>b>0)的右顶点为A(2，0)，离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点P(0，﹣2)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当△OMN的面积最大时（O为坐标原点），求直线l的方程.

Answer 1

【答案】（1）1（2）yx﹣2.

【解析】

（1）根据椭圆右顶点和离心率，结合，求得的值，由此求得椭圆方程.

（2）设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得，由此求得三角形的面积的表达式，利用换元法，结合基本不等式，求得面积的最大值，以及此时直线的斜率，进而求得直线的方程.

（1）由题意得:a=2，e，b2=a2﹣c2，解得:a2=2，b2=1，所以椭圆的方程为:1；

（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程:y=kx﹣2，M(x，y)，N(x'，y')，联立与椭圆的方程整理得:(1+4k2)x2﹣16kx+12=0，△=(16k)2﹣4×12×(1+4k2)>0，得k2，x+x'，xx'，所以弦长MN|x﹣x'|4，原点到直线l的距离d，所以S△OMNMNd4，令t(t>0)，所以4k2=t2+3， S1，当且仅当t=2时等号成立，即k2，满足条件，解得k，所以直线l的方程为:yx﹣2.