【题目】已知函数,
.
(1)当时,设函数
在区间
上的最小值为
,求
;
(2)设,若函数
有两个极值点
,且
,求证:
.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)当时,则
,通过分类讨论参数
,利用导数研究函数
在区间
上的单调性和最值,即可求得
.
(2)要证,即证
,当
时,
,则
,构造函数
,利用导数求出
在
单调递增,得出
,即可证明出
.
解:(1)当时,函数
,则
,
①当时,
,
在
上单调递增,
所以.
②当时,令
,解得
,
,
(i)当时,即
时,
在
上单调递增,
由上知,此时;
(ii)当时,即
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以;
(iii)当时,即
时,
在
上单调递减,
此时.
综上得:,
即当时,
,属于一次函数,
由于,则
在区间
上单调递增,
所以在区间上,
;
当时,
,则
,
所以在区间
上单调递增,
所以在区间上,
;
当时,
,
综合上述得出:.
(2)原式转化为求证,
当时,
,
所以是方程
的两根,所以
,
,
因为且
,
,所以
,
,
所以,
令,则
,
所以在
单调递增,所以
,
即.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知空间中两条直线,
所成的角为
,
为空间中给定的一个定点,直线
过点
且与直线
和直线
所成的角都是
,则下列选项正确的是( )
A.当时,满足题意的直线
不存在
B.当时,满足题意的直线
有且仅有1条
C.当时,满足题意的直线
有且仅有2条
D.当时,满足题意的直线
有且仅有3条
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【题目】已知四个命题:
①在回归分析中, 可以用来刻画回归效果,
的值越大,模型的拟合效果越好;
②在独立性检验中,随机变量的值越大,说明两个分类变量有关系的可能性越大;
③在回归方程中,当解释变量
每增加1个单位时,预报变量
平均增加1个单位;
④两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于1;
其中真命题是:
A. ①④ B. ②④ C. ①② D. ②③
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【题目】如图,平面平面
,
,四边形
为平行四边形,
,
为线段
的中点,点
满足
.
(Ⅰ)求证:直线平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)若平面平面
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】已知点及圆
.
(1)若直线过点
且与圆心
的距离为1,求直线
的方程;
(2)若过点的直线
与圆
交于
、
两点,且
,求以
为直径的圆的方程;
(3)若直线与圆
交于
,
两点,是否存在实数
,使得过点
的直线
垂直平分弦
?若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着城市化建设步伐,建设特色社会主义新农村,有n个新农村集结区,
,
,…,
按照逆时针方向分布在凸多边形顶点上(
),如图所示,任意两个集结区之间建设一条新道路
,两条道路的交汇处安装红绿灯(集结区
,
,
,…,
除外),在凸多边形内部任意三条道路都不共点,记安装红绿灯的个数为
.
(1)求,
;
(2)求,并用数学归纳法证明.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)设为曲线
上位于第一,二象限的两个动点,且
,射线
交曲线
分别于
,求
面积的最小值,并求此时四边形
的面积.
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