Question

【题目】已知点及圆．

（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；

（2）若过点的直线与圆交于、两点，且，求以为直径的圆的方程；

（3）若直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）不存在，理由详见解析.

【解析】

（1）设出直线方程，结合点到直线的距离公式，计算参数，即可得出所求直线方程，注意分斜率存在与否两种情况讨论；

（2）求出点P与圆心C之间的距离，再根据逆用弦长公式求出弦心距d，发现，则点P为MN的中点，故以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，写出圆的方程即可；

（3）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出a的范围，再计算的斜率，求出a的值，即可.

（1）圆的圆心为，半径，

当的斜率存在时，设直线的斜率为， 则方程为．

依题意得， 解得.

所以直线的方程为，即．

当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件.

（2）由于， 而弦心距， 所以．

所以为的中点．故以为直径的圆的方程为．

（3）直线，即，

代入圆的方程，消去，整理得．

由于直线交圆于，两点，

故， 解得．

则实数的取值范围是．

若存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，则圆心必在上．

所以的斜率，而，所以．

由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．