Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）设函数，其中是自然对数的底数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增，无极值；当时，在和单调递增，在单调递减，极大值为，极小值为.

【解析】

（1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；

（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出函数的极值即可．

（1）由题意，所以当时，，，

因此曲线在点处的切线方程是，

即.

（2）因为，

所以

，

令，则，令得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以当时，，

也就说，对于恒有.

当时，，

在上单调递增，无极值；

当时，令，可得．当或，

，单调递增，

当，，单调递减；

因此，当时，取极大值；

当时，取极小值.

综上所述：

当时，在上单调递增，无极值；

当时，在和单调递增，在单调递减，

函数既有极大值，又有极小值，

极大值为，

极小值为.