Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，点B，C都在双曲线的右支上，若△ABC为等边三角形，求双曲线的离心率的取值范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出A点坐标，判断直线BC垂直于x轴，设出直线AB的方程，与双曲线方程联立，因为B，C点存在，所以方程有大于a的解，再利用判别式和对称轴即可求出a，b的关系，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求范围．

解答： 解：由双曲线的方程知A（a，0），
根据双曲线的对称性，若三角形ABC为等边三角形，则BC垂直于x轴，
∴AB的倾斜角为30°
设直线AB方程为y=

3

3

（x-a），代入双曲线方程，化简，得，
（b²-

1

3

a²）x²+

2

3

a³x-

1

3

a⁴-a²b²=0，
∵满足条件的点B存在，
∴方程（b²-

1

3

a²）x²+

2

3

a³x-

1

3

a⁴-a²b²=0有两解，一个等于a，一个属于（a，+∞）．
∴

b2- 1 3 a2≠0 △= 4 9 a6+4(b2- 1 3 a2)( 1 3 a4+a2b2)＞0 - 2 3 a3 2(b2- 1 3 a2) ＞a

，
解得，

1

3

a²＞b²，即有a²＞3c²-3a²，即有2a＞

3

c，
则离心率e=

c

a

＜

2 3

3

，而e＞1，
则离心率的取值范围是（1，

2 3

3

）．

点评：本题主要考查了双曲线的应用．直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线方程，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于中档题．