Question

已知椭圆

x2

m

+

y2

n

=1与双曲线

x2

p

-

y2

q

=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦点F₁、F₂，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF₁|•|PF₂|=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先由椭圆和双曲线有共同的焦点F₁、F₂，得到m-n=p+q；再根据点P为椭圆和双曲线的一个交点结合定义求出|PF₁|与|PF₂|的表达式，代入即可求出|PF₁|•|PF₂|的值．

解答： 解：由于椭圆

x2

m

+

y2

n

=1与双曲线

x2

p

-

y2

q

=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦点F₁、F₂，
则m-n=p+q，
不妨设P为双曲线右支上的点，
则由椭圆的定义，可得|PF₁|+|PF₂|=2

m

，①
由双曲线的定义，可得|PF₁|-|PF₂|=2

p

，②
由①②得：|PF₁|=

m

+

p

，|PF₂|=

m

-

p

．
∴|PF₁|•|PF₂|=m-p．
故答案为：m-p．

点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查运算能力，属于基础题．