Question

某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的举行ABCD和EFGH构成的面积为200m²的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m²，在四个相同的矩形上（途中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m²，再在四个角上铺草坪，造价为80元/m²．受地域影响，AD的长最多能达到2

3

m，其余的边长没有限制．
（1）设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式；
（2）当x取何值时，S最小，并求出这个最小值．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由题意先求出边长AM，从而写出S关于x的函数关系式；
（2）利用基本不等式求最值，注意等号是否成立．

解答： 解：（1）设AM=z，则4zx+x²=200，
则z=

200-x2

4x

；
则S=4200x²+210×（200-x²）+80×2×

200-x2

4x

×

200-x2

4x

=4000（x²+

100

x2

）+38000，（0＜x≤2

3

）；
（2）∵x²+

100

x2

≥20，
（当且仅当x²=

100

x2

，即x=

10

时，等号成立）
∴当x=

10

m时，S最小，
最小值为4000×20+38000=118000（元）．

点评：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式的应用，属于中档题．