Question

【题目】已知定义在R上的连续函数g（x）满足：①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立（g′（x）为函数g（x）的导函数）；②对任意的x∈R都有g（x）=g（﹣x），又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有 成立．当 时，f（x）=x3﹣3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）对x∈[﹣ ， ]恒成立，则a的取值范围是（ ）
A.a∈R
B.0≤a≤1
C.
D.a≤0或a≥1

Answer 1

【答案】D
【解析】解：因为函数g（x）满足：当x＞0时，g′（x）＞0恒成立且对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），
则函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g（|x|）=g（x），
所以g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）在R上恒成立|f（x）|≤|a2﹣a+2|对x∈[﹣ ﹣2 ， +2 ]恒成立，
只要使得定义域内|f（x）|max≤|a2﹣a+2|min ， 由于当x∈[﹣ ， ]时，f（x）=x3﹣3x，
求导得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），该函数过点（﹣ ，0），（0，0），（ ，0），
且函数在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=﹣2，
又由于对任意的x∈R都有f（ +x）=﹣f（x）f（2 +x）=﹣f（ +x）=f（x）成立，
则函数f（x）为周期函数且周期为T=2 ，
所以函数f（x）在x∈[﹣ ， ]的最大值为2，
所以令2≤|a2﹣a+2|解得：a≥1或a≤0．
故选：D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．