Question

13．已知命题p：关于x的方程log₂（ax²-2x+2）=2在[1，2]内有解；命题q：函数f（x）=m（x²-1）+x-a的图象与x轴有交点．
（1）若p是真命题．求实数a的取值范围；
（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对于命题p：关于x的方程log₂（ax²-2x+2）=2在[1，2]内有解，化为即$a=\frac{2x+2}{{x}^{2}}$=$2（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}$，利用二次函数的单调性即可得出．
（2）对于命题q：函数f（x）=m（x²-1）+x-a=mx²+x-m-a的图象与x轴有交点．当m=0时，对m分类讨论．由于￢p是￢q的必要不充分条件，可得p是q的充分不必要条件．即可得出．

解答 解：（1）对于命题p：关于x的方程log₂（ax²-2x+2）=2在[1，2]内有解，
化为ax²-2x+2=2²，即$a=\frac{2x+2}{{x}^{2}}$=$2（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{x}∈$$[\frac{1}{2}，1]$，∴a∈$[\frac{3}{2}，4]$．
∴实数a的取值范围是$[\frac{3}{2}，4]$．
（2）对于命题q：函数f（x）=m（x²-1）+x-a=mx²+x-m-a的图象与x轴有交点．
当m=0时，f（x）=x-a，a∈R时，函数f（x）与x轴有交点；
当m≠0时，则△=1-4m（-m-a）≥0，化为4m²+4ma+1≥0，m＞0时，a≥$\frac{-4{m}^{2}-1}{4m}$；当m＜0时，a≤$\frac{-4{m}^{2}-1}{4m}$．
∵￢p是￢q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
∴m=0时满足条件；
m＞0时，$\frac{-4{m}^{2}-1}{4m}$≤$\frac{3}{2}$，解得m＞0；
当m＜0时，$\frac{-4{m}^{2}-1}{4m}$≥4，解得m≤$\frac{-4-\sqrt{15}}{2}$，或$\frac{\sqrt{15}-4}{2}$≤m＜0．
综上可得：m的取值范围是m≤$\frac{-4-\sqrt{15}}{2}$，或$\frac{\sqrt{15}-4}{2}$≤m．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的单调性、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．