Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-3x+b

3x+1+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t²-2t）+f（t²-2k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的性质,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）f（x）是奇函数则f（0）=0，求得b，再由f（1）=-f（-1），求得a，再检验即可；
（2）判断函数f（x）的单调性，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，即f（t²-2t）＜-f（2t²-k），即f（t²-2t）＜f（k-2t²）．由函数的单调性可得，t²-2t＞k-2t²即k＜3t²-2t恒成立，求出右边的最小值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，即

b-1

a+3

=0∴b=1．
∴f(x)=

1-3x

a+3x+1

又由f（1）=-f（-1），得

1-31

a+32

=-

1-3-1

a+30

，∴a=3．
∴f(x)=

-3x+1

3x+1+3

，
∵f(-x)=

-3-x+1

3-x+1+3

=

- 1 3x +1

3× 1 3x +3

=

-1+3x

3+3x+1

=-f(x)
∴f（x）是奇函数，∴a=3，b=1．
（2）由（1），得f(x)=

-3x+1

3x+1+3

=-

1

3

+

2

3x+1+3

，∴f（x）在R上单调递减．
∵不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k），即f（t²-2t）＜f（k-2t²）．
由函数的单调性可得，t²-2t＞k-2t²即k＜3t²-2t恒成立，
即k＜（3t²-2t）_min，
又∵3t2-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

≥-

1

3

，
∴k＜-

1

3

，即k∈(-∞，-

1

3

)．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查不等式恒成立问题，注意运用参数分离，转化为求最值问题，考查运算能力，属于中档题．