Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥BC，AD∥BC，AA₁=BC=2，AB=

2

，E为DD₁中点，平面BCE交AA₁于F．
（Ⅰ）求证：EF∥AD；
（Ⅱ）求证：AB₁⊥平面BCEF；
（Ⅲ）求B₁C与平面BCEF所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由AD∥BC，得到BC∥平面ADD₁A₁，由此能证明EF∥AD．
（Ⅱ）由已知条件推导出BC⊥平面AA1B1 B，从而得到BC⊥AB1 ，由此能证明AB₁⊥平面BCEF．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，AB₁⊥平面BCEF，设AB₁∩BF=H，连接CH，∠B₁CH是B₁C与平面BCEF所成的角，由此能求出B₁C与平面BCEF所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵AD∥BC，AD?平面ADD₁A₁，
BC不包含于平面ADD₁A₁，∴BC∥平面ADD₁A₁，
BC?面BCEF，面ADD₁A₁∩面BCEF=EF，
∴BC∥EF，又AD∥BC，∴EF∥AD．
（Ⅱ）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直棱柱，
∴AA₁⊥BC，又AB⊥BC，AA₁∩AB=A，
∴BC⊥平面AA1B1 B，∴BC⊥AB1 ，
∵

AF

AB

=

1

2

，

AB

BB1

=

2

2

，

AF

AB

=

AB

BB1

，
∴Rt△BAF∽Rt△B₁BA，∴∠ABF=∠AB₁B，
∴∠ABF+∠BA B₁=∠AB₁B+∠BAB₁=90°，
∴AB₁⊥BF，BC∩BF=B，∴AB₁⊥平面BCEF．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，AB₁⊥平面BCEF，设AB₁∩BF=H，连接CH，
则∠B₁CH是B₁C与平面BCEF所成的角，
B1C=

BC2+BB12

=2

2

，
B₁H=BB₁•cos∠BB₁H=BB₁•cos∠BB₁A=BB1•

BB1

AB1

=

4

6

，
∴sin∠B₁CH=

B1H

B1C

=

4

2 2 • 6

=

3

3

．
∴B₁C与平面BCEF所成的角的正弦值是

3

3

．

点评：本题考查直线与直线平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．