Question

已知函数f（x）=

kx

|x|+1

，k＞0．
（1）试判断f（x）的奇偶性，并写出其单调增区间；
（2）若不等式f[log2(4x+16)]+f（t-x）＞0恒成立，求t的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=x恰有一根，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可试判断f（x）的奇偶性，并写出其单调增区间；
（2）将不等式f[log2(4x+16)]+f（t-x）＞0恒成立，结合函数的奇偶性和单调性，求t的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=x恰有一根，建立条件关系即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数的定义域为R，
∴f（-x）=-

kx

|x|+1

=-f（x），k＞0．
即f（x）是奇函数，
当x=0时，f（0）=0，
当x＞0时，f（x）=

kx

x+1

=

k(x+1)-k

x+1

=k-

k

x+1

，此时函数单调递增，且此时f（x）＞0，
当x＜0时，f（x）=

kx

|x|+1

=

kx

-x+1

=

k(x-1)+k

-(x-1)

=-k-

k

x-1

，此时函数单调递增，且f（x）＜0，
综上函数在R上单调递增，即函数的单调递增区间为（-∞，+∞）．
（2）∵f[log2(4x+16)]+f（t-x）＞0，
∴f[log2(4x+16)]＞-f（t-x）=f（x-t），
∵函数在R上单调递增，
∴不等式恒成立等价为[log2(4x+16)＞x-t，
即4^x+16＞2^x-t=2^x•2^-t恒成立，
即2t＞

2x

4x+16

=

1

2x+ 16 2x

恒成立．
∵g（x）=

1

2x+ 16 2x

≤

1

2 2x• 16 2x

=

1

2 16

=

1

8

，
当且仅当2x=

16

2x

，即2^x=4，x=2时取等号，
∴2t＞

1

8

=2-3，
∴t＞-3，
即t的取值范围是t＞-3；
（3）由f（x）=

kx

|x|+1

=x，k＞0．
即x（

k

|x|+1

-1）=0，
若关于x的方程f（x）=x恰有一根，
则

k

|x|+1

-1≠0，即y=k与y=1+|x|没有公共点，
即0＜k＜1，即实数k的取值范围是0＜k＜1．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，以及不等式恒成立问题，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．