Question

11．若不等式x²-log_mx＜0在（0，$\frac{1}{3}$）内恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 作出y=x²和y=log_mx的草图，利用数学结合得出0＜m＜1，只要x=$\frac{1}{3}$时，y=log_m$\frac{1}{3}$≥$\frac{1}{9}$=log_m${m}^{\frac{1}{9}}$，进而求出m的范围．

解答 解：由x²-log_mx＜0，得x²＜log_mx，在同一坐标系中作y=x²和y=log_mx的草图，如图

要使由x²＜log_mx在（0，$\frac{1}{3}$）内恒成立，只要y=log_mx在（0，$\frac{1}{3}$）内的图象在y=x²的上方，于是0＜m＜1；
∵x=$\frac{1}{3}$时，y=x²=$\frac{1}{9}$，
∴只要x=$\frac{1}{3}$时，y=log_m$\frac{1}{3}$≥$\frac{1}{9}$=log_m${m}^{\frac{1}{9}}$，
∴$\frac{1}{3}$≤${m}^{\frac{1}{9}}$，即m≥（$\frac{1}{3}$）⁹，
又0＜m＜1
∴1＞m≥（$\frac{1}{3}$）⁹
即实数m的取值范围是1＞m≥（$\frac{1}{3}$）⁹．

点评 考查了函数作图，利用数学结合的思想分析问题．数学结合的思想的利用．