Question

（2013•临沂三模）已知椭圆C经过点M(1，

3

2

)，其左顶点为N，两个焦点为（-1，0），（1，0），平行于MN的直线l交椭圆于A，B两个不同的点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意设出椭圆方程，把点M的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件a²=b²+c²可求解a²，b²，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）由椭圆方程求出顶点N的坐标，求出MN的斜率，设出直线l的斜截式方程，和椭圆联立后利用根与系数的关系求出A，B两点的横坐标的和与积，由两点式写出MA和MB的斜率，作和后化为含有直线l的截距的代数式，整理得到结果为0，所以结论得证．

解答：（Ⅰ）解：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），因为过点M(1，

3

2

)，
所以

1

a2

+

9

4b2

=1 ①
又c=1，所以a²=b²+c²=b²+1 ②
由①②可得a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，N(-2，0)，M(1，

3

2

)，所以kMN=

3 2 -0

1-(-2)

=

1

2

．
故设直线l：y=

1

2

x+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+m

，得x²+mx+m²-3=0．
∴x1+x2=-m，x1x2=m2-3．
∴kMA+kMB=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=

1 2 x1+m- 3 2

x1-1

+

1 2 x2+m- 3 2

x2-1

=1+

m-1

x1-1

+

m-1

x2-1

=1+(m-1)•

x1+x2-2

x1x2-(x1+x2)+1

=1+(m-1)•

-m-2

m2-3+m+1

=1-

(m-1)(m+2)

m2+m-2

=1-1=0．
故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法和学生的计算能力，属难题．