Question

2．若向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），$\overrightarrow{OC}$=（2，1），点O，M，C三点共线，$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$的最小值是-8．

Answer 1

分析 根据O，M，C三点共线，得出$\overrightarrow{OM}$=t$\overrightarrow{OC}$，t∈R；
再用坐标表示出$\overrightarrow{MA}$与$\overrightarrow{MB}$，求出$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$的最小值即可．

解答 解：向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），$\overrightarrow{OC}$=（2，1），
且O，M，C三点共线，
∴$\overrightarrow{OM}$=t$\overrightarrow{OC}$，t∈R；
∴$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$-t$\overrightarrow{OC}$=（1-2t，7-t），
$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OB}$-t$\overrightarrow{OC}$=（5-2t，1-t）；
∴$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=（1-2t）（5-2t）+（7-t）（1-t）=5t²-20t+12=5（t-2）²-8≥-8，
∴$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$的最小值是-8．
故答案为：-8．

点评 本题考查了向量坐标的线性运算与数量积的坐标运算以及二次函数的最值问题，是基础题目．