Question

满足方程log 2[2cos2(xy)+

1

2cos2(xy)

]=-y2+y+

3

4

的所有实数对（x，y）=

 

．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：由条件利用基本不等式求得y=

1

2

，此时，根据2cos2

x

2

=1，可得 cos

x

2

的值，从而求得x的值．

解答： 解：log₂ [2cos2(xy)+

1

2cos2(xy)

]=-y2+y+

3

4

≥log₂2=1，
即 y²-y+

1

4

≤0，即 (y-

1

2

)2≤0，∴y=

1

2

．
此时，2cos2(xy) = 

1

2cos2(xy)

，即2cos2

x

2

 = 

1

2cos2 x 2

，2cos2

x

2

=1，可得 cos

x

2

=±

2

2

，
∴

x

2

=kπ±

π

4

，故x=2kπ±

π

2

，k∈z，
故答案为：（2kπ±

π

2

，

1

2

 ），k∈z．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，基本不等式的应用，属于中档题．