Question

已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（-1）=2．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）判断f（x）在R上的单调性（说明理由）；并求函数f（x）在区间[-2，4]上的值域．
（3）若对任意t∈[1，3]，不等式f（t²-2kt）+f（2t²-1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）证明：∵对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数．
（2）f（x）在R上单调递减．
证明：设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₁）-[f（x₂-x₁）+f（x₁）]=-f[（x₂-x₁），
因为当x＞0时，f（x）＜0，且x₂-x₁＞0，所以f[（x₂-x₁）＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数f（x）为R上的减函数．
由f（x+y）=f（x）+f（y）及f（-1）=2得，f（-2）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=4，
f（4）=f（2）+f（2）=2f（2），因为f（x）为奇函数，所以f（-2）=-f（2）=4，f（2）=-4，所以f（4）=-8．
又函数f（x）在区间[-2，4]上单调递减，所以f（4）≤f（x）≤f（-2），即-8≤f（x）≤4．
故函数f（x）在区间[-2，4]上的值域为[-8，4]．
（3）因为函数f（x）在R上是奇函数，且单调递减，
所以不等式f（t²-2kt）+f（2t²-1）＜0?f（t²-2kt）＜-f（2t²-1）=f（1-2t²）?t²-2kt＞1-2t²，
所以对任意t∈[1，3]，不等式f（t²-2kt）+f（2t²-1）＜0恒成立，
等价于t²-2kt＞1-2t²恒成立，即t∈[1，3]时2k＜3t-恒成立，
而易知3t-在∈[1，3]上单调递增，所以=3-1=2，
所以有2k＜2，解得k＜1．
所以实数k的取值范围为（-∞，1）．
分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x及奇函数的定义即得证；
（2）设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₁）-[f（x₂-x₁）+f（x₁）]=-f[（x₂-x₁），根据已知可比较f（x₁）与f（x₂）的大小，从而可知其单调性；由函数的单调性及已知可求出f（-2），f（4），即函数f（x）在区间[-2，4]上的最值，由此可得其值域；
（3）利用函数f（x）的单调性、奇偶性，可把不等式f（t²-2kt）+f（2t²-1）＜0中的符号“f”去掉，分离出参数k后转化为函数的最值问题即可求得．
点评：本题考查抽象函数的单调性、奇偶性及其应用，考查学生分析问题解决问题的能力，具有一定的综合性．