Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+3x+1．
（Ⅰ）当a=1时，判断f（x）的单调性，并求其单调区间；
（Ⅱ）若x∈（0，+∞）时，f'（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用导数的运算法则可得f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，即可得出；
（II）f′（x）≥0恒成立，即3x²-6ax+3≥0恒成立，分离参数可得a≤

x2+1

2x

，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x³-3x²+3x+1，
则f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，
∴f（x）在R上为增函数，增区间为（-∞，+∞）．
（Ⅱ）f′（x）≥0恒成立，即3x²-6ax+3≥0恒成立，得a≤

x2+1

2x

，
令g(x)=

x2+1

2x

，只需a≤[g（x）]_min，
而g(x)=

1

2

(x+

1

x

)≥

1

2

•2

x• 1 x

=1，
即[g（x）]_min=1，
∴a≤1．

点评：本题考查了两条导数研究函数的单调性、基本不等式的性质，考查了分离参数方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．