Question

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆内一点A(1，

1

2

)作直线l与椭圆交于M，N两点，若A点恰为线段MN的中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由左焦点为 F（-

3

，0），右顶点为D（2，0），得到椭圆的长半轴长a，半焦距c，再求得短半轴长b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．
（2）设直线方程为y-

1

2

=k（x-1），联立直线奉承与椭圆方程，得到M，N两点的作之间的关系，根据A点恰为线段MN的中点求出斜率即可得到结论．

解答：解：（1）由已知得椭圆的长半轴长a=2，半焦距c=

3

，则短半轴长b=1．
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）①当直线斜率存在时，设方程为；y-

1

2

=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

y- 1 2 =k(x-1) x2 4 +y2=1

⇒（1+4k²）x²+8k（

1

2

-k）x+4（

1

2

-k）²-4=0．
x₁+x₂=-

8k( 1 2 -k)

1+4k2

．
∵A点恰为线段MN的中点，
∴

x1+x2

2

=1⇒-

4k( 1 2 -k)

1+4k2

=1，解得k=-

1

2

．
此时直线l的方程为：y-

1

2

=-

1

2

（x-1），即x+2y-2=0；
②当斜率不存在时，直线为x=1：显然A点不是线段MN的中点．
综上，所求直线l的方程为：x+2y-2=0．

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，（2）问也可以考虑“平方差法”解决．