Question

设f（x）=ax²+bx+c，?x，有：①f（x）≥0，②f′（0）＞0，则

f(2)

f′(0)

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：导数的运算,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意，求出a、b、c满足的条件是什么，化简

f(2)

f′(0)

，求出它的最小值是什么．

解答： 解：根据题意，得；
∵①f（x）≥0，
∴

a＞0 b2-4ac≤0

；
∵②f′（0）＞0，
∴f′（x）=2ax+b，
∴f′（0）=b＞0；
∴

a＞0 b＞0 c≥ b2 4a

；
∴

f(2)

f′(0)

=

4a+2b+c

b

≥

4a

b

+2+

b2

4ab

=

4a

b

+

b

4a

+2≥2

4a b • b 4a

+2=4，
当且仅当b=4a时，“=”成立；
∴

f(2)

f′(0)

的最小值为4．
故答案为：4．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据题意，得出系数a、b、c满足的条件是什么，从而建立目标式，利用基本不等式，求出最值，是中档题．