Question

如图，D、E是△ABC边AB、AC上的点，已知AB=3AD，AE=2EC，BE交CD于点F，点P是△FBC内（含边界）一点，若

AP

=λ

AB

+μ

AE

，则λ+μ的取值范围是（　　）

• A、[

  3

  4

  ，1]
• B、[

  2

  3

  ，1]
• C、[1，

  3

  2

  ]
• D、[1，2]

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：因点P是阴影内任一点，所以可在阴影内任取点P，因为条件中是用

AB

，

AE

表示的

AP

，所以也想着用

AB

，

AE

来表示

AP

．根据向量的加法运算，连接BP并延长交AC于G点，这时

AP

=

AE

+

EP

，并设

EG

AE

=m，

GP

GB

=n，并求出m，n的取值范围，这样便完成了用

AB

，

AE

表示

AP

了．从而用m，n表示λ+μ，根据m，n的范围就可求出λ+μ的范围．求到这之后，好要求几个点处的λ+μ的取值，综合起来就得到了λ+μ的范围了．

解答： 解：如下图，在阴影区域任找一点P，连接BP，并延长交AC于G，设

EG

AE

=m，

GP

GB

=n则：
0＜m＜

1

2

，0＜n＜1，AG=（m+1）AE，∴

AP

=

AG

+

GP

=(m+1)

AE

+n

GB

=(m+1)

AE

+n(

AB

-

AG

)
=n

AB

+(m+1-mn-n)

AE

，∴λ+μ=m（1-n）+1
∵0＜m＜

1

2

，0＜1-n＜1，∴0＜m(1+n)＜

1

2

，∴0＜λ+μ＜

3

2

，下面求P与B，E，C重合的情况．
P在B点时：

AP

=1•

AB

+0•

AE

，∴λ+μ=1；
P在B点时：

AP

=0•

AB

+

3

2

AE

，∴λ+μ=

3

2

；
P在F点时：过E作EH∥AB，由条件知，

EH

AD

=

1

3

，∴

EH

BD

=

1

6

，∴EF=

1

7

EB

．
∴

AP

=

AE

+

1

7

EB

=

1

7

AB

+

6

7

AE

，∴λ+μ=1，综上得λ+μ的取值范围是：[1，

3

2

]．
故选：C．

点评：求解本题的关键便是设

EG

AE

=m，

GP

GB

=n，而不能忽略的是求几个点处的取值．注意运用向量的运算．