Question

已知点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

bnbn+1

}的前n项和为T_n，问满足T_n＞

1003

2012

的最小值n是多少？

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出c=1，公比q=

a2

a1

=

1

3

，从而得到an=-

2

3

•(

1

3

)n-1=-2•(

1

3

)n （n∈N^*）；由S_n-S_n-1=（

Sn

-

Sn-1

）（

Sn

+

Sn-1

）=

Sn

+

Sn+1

，（n≥2），得

Sn

-

Sn-1

=1从而得到数列{

Sn

}构成一个首项为1公差为1的等差数列．进而得到Sn=n2，由此求出b_n=2n-1，（n∈N^*）
（2）由

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能求出满足T_n＞

1003

2012

的最小正整数为168．

解答： 解：（1）f(1)=a=

1

3

，∴f(x)=(

1

3

)x
a1=f(1)-c=

1

3

-c，a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-

2

9

，
a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-

2

27

，
又数列{a_n}成等比数列，a1=

a22

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，
解得c=1，
又公比q=

a2

a1

=

1

3

，∴an=-

2

3

•(

1

3

)n-1=-2•(

1

3

)n （n∈N^*）
∵S_n-S_n-1=（

Sn

-

Sn-1

）（

Sn

+

Sn-1

）=

Sn

+

Sn+1

，（n≥2）
又b_n＞0＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1
数列{

Sn

}构成一个首项为1公差为1的等差数列．

Sn

=1+（n-1）×1=n，∴Sn=n2，
当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
∴b_n=2n-1，（n∈N^*）
（2）∵

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

，
由Tn=

n

2n+1

＞

1003

2012

，得n＞

1003

6

，
满足T_n＞

1003

2012

的最小正整数为168．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，求满足不等式的实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．