Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA₁⊥底面ABC，且AA₁=2，E是BC的中点．
（1）求异面直线AE与A₁C所成角的余弦值；
（2）求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，则A₁E₁∥AE，即∠CA₁E₁即为异面直线AE与A₁C所成的角θ，连结E₁C，解三角形可得异面直线AE与A₁C所成角θ的大小．
（2）由（1）知A₁H⊥平面BCC₁B₁，得到∠A₁CH是直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角，在直角三角形中计算．

解答： 解：（1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，取C₁B₁的中点H，连A₁H与HC，
∵E是BC的中点∴A₁H∥AE，∠CA₁H是异面直线AE与A₁C所成角，
∵底面ABC是等腰直角三角形，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴A₁H⊥BC，
∵侧棱AA′⊥底面ABC，
∴侧棱B₁B⊥A₁H，
∴A₁H⊥平面BCC₁B₁，∴A₁H⊥HC，
在Rt△A₁HC中，
cos∠CA₁H=

A 1H

A1C

=

2 2

5

10

10

；              （6分）
（2）由（1）知A₁H⊥平面BCC₁B₁
A₁C在平面BCC₁B₁上的射影是HC，
∴∠A₁CH是直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角，
在Rt△A₁HC中  tan∠A₁CH=

A1H

BC

=

2 2

3 2 2

=

1

3

．            （12分）

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角以及线面角的三角函数值的求法，关键是正确找出平面角，利用平面几何的知识解答，属于中档题．