Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1-sin

C

2

（1）求sinC的值
（2）若 a²+b²=4（a+b）-8，求边c的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式将已知等式化简；将得到的式子平方，利用三角函数的平方关系求出sinC．
（2）利用求出的三角函数的值将角C的范围缩小，求出C的余弦；将已知等式配方求出边a，b；利用余弦定理求出c

解答：解：（1）∵sinC+cosC=1-sin

C

2

∴2sin

C

2

cos

C

2

+1-2sin2

C

2

=1-sin

C

2

∴2sin

C

2

cos

C

2

-2sin2

C

2

=-sin

C

2

∴2sin2

C

2

-2sin

C

2

cos

C

2

=sin

C

2

∴2sin

C

2

(sin 

C

2

-cos

C

2

)=sin

C

2

∴sin

C

2

-cos 

C

2

=

1

2

∴sin2

C

2

-sinC+cos2

C

2

=

1

4

∴sinC=

3

4

（2）由sin

C

2

-cos

C

2

=

1

2

＞0得

π

4

＜

c

2

＜

π

2

即

π

2

＜C＜π
∴cosC=-

7

4

∵a²+b²=4（a+b）-8
∴（a-2）²+（b-2）²=0
∴a=2，b=2
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=8+2

7

∴c=1+

7

点评：本题考查三角函数的二倍角公式、同角三角函数的平方关系、考查三角形中的余弦定理．