Question

【题目】如图，MN分别是边长为1的正方形ABCD的边BCCD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，有以下结论:

①异面直线AC与BD所成的角为定值.

②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.

③存在某个位置，使得直线MN与平面ABC所成的角为45°.

④三棱锥M-ACN体积的最大值为.

以上所有正确结论的序号是__________.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

设中点，连接，，得到平面，从而可证①正确；假设，从而得到平面，与已知矛盾，从而证明②错误，根据，得到与平面所成的角等于与平面所成的角，即，根据的范围，从而证明③正确；，从而得到体积最大的情况，求出最大值，可得④正确.

设中点，连接，，

正方形，，，

所以，，

平面，，

所以平面，

而平面，所以，

即异面直线与所成的角为定值.

故①正确.

若，而，平面，

所以平面，

而平面，所以，

而中，，

所以不可能为直角，故假设错误，

所以②错误.

因为分别是的中点，所以，

所以与平面所成的角等于与平面所成的角，

在平面的射影在上，

所以是与平面所成的角，

而，所以一定存在某个位置满足，

即存在某个位置，使得直线MN与平面所成的角为45°.

故③正确；

，底面，

所以当平面平面时，到平面的距离最大，

此时三棱锥的体积最大，

，

所以此时，

故④正确.

故答案为：①③④