【题目】如图,曲线是以原点O为中心、
为焦点的椭圆的一部分,曲线
是以O为顶点、
为焦点的抛物线的一部分,A是曲线
和
的交点且
为钝角,若
,
.
(1)求曲线和
的方程;
(2)过作一条与
轴不垂直的直线,分别与曲线
依次交于B、C、D、E四点,若G为CD中点、H为BE中点,问
是否为定值?若是求出定值;若不是说明理由.
【答案】(1)椭圆方程为,抛物线方程为
; (2)见解析。
【解析】
(1)因为在椭圆中2a=|AF1|+|AF2|6,所以可求曲线C1方程.因为曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分,A是曲线C1和C2的交点.|AF1|
,|AF2|
,所以利用抛物线定义,可求曲线C2方程;
(2)先设出B、C、D、E四点坐标,过F2作的与x轴不垂直的直线方程,在分别与椭圆方程,抛物线方程联立,利用根与系数关系,求的值,看结果是否为定值.
(1)设椭圆方程为,则
,得
设,
,
则
,
,
两式相减得,由抛物线定义可知
,
则,
或
,
(舍去)
所以椭圆方程为,抛物线方程为
。
另解:过作垂直于x轴的直线
,即抛物线的准线,作AH垂直于该准线,
作轴于
,则由抛物线的定义得
,
所以
,
,得
,所以c=1,
,
所以椭圆方程为,抛物线方程为
。
(2)设,
,
,
,
直线,代入
得,
,即
,
则,
同理,将代入
得:
,
则,
,
所以
为定值.
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【题目】如图,曲线是以原点O为中心、
为焦点的椭圆的一部分,曲线
是以O为顶点、
为焦点的抛物线的一部分,A是曲线
和
的交点且
为钝角,若
,
.
(1)求曲线和
的方程;
(2)过作一条与
轴不垂直的直线,分别与曲线
依次交于B、C、D、E四点,若G为CD中点、H为BE中点,问
是否为定值?若是求出定值;若不是说明理由.
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【题目】如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段和以
为直径的半圆弧
组成,其中
为2百米,
为
.若在半圆弧
,线段
,线段
上各建一个观赏亭
,再修两条栈道
,使
. 记
.
(1)试用表示
的长;
(2)试确定点的位置,使两条栈道长度之和最大.
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【题目】如图,MN分别是边长为1的正方形ABCD的边BCCD的中点,将正方形沿对角线AC折起,使点D不在平面ABC内,则在翻折过程中,有以下结论:
①异面直线AC与BD所成的角为定值.
②存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.
③存在某个位置,使得直线MN与平面ABC所成的角为45°.
④三棱锥M-ACN体积的最大值为.
以上所有正确结论的序号是__________.
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【题目】如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E,F分别是B1C1,AB,AA1的中点.
(1) 求证:EF∥平面A1BD;
(2) 若A1B1=A1C1,求证:平面A1BD⊥平面BB1C1C.
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【题目】某农场有一块等腰直角三角形的空地,其中斜边
的长度为400米.为迎接“五一”观光游,欲在边界
上选择一点
,修建观赏小径
,其中
分别在边界
上,小径
与边界
的夹角都为
.区域
和区域
内种植郁金香,区域
内种植月季花.
(1)探究:观赏小径与
的长度之和是否为定值?请说明理由;
(2)为深度体验观赏,准备在月季花区域内修建小径,当
点在何处时,三条小径
的长度和最小?
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