Question

【题目】某农场有一块等腰直角三角形的空地，其中斜边的长度为400米.为迎接“五一”观光游，欲在边界上选择一点，修建观赏小径，其中分别在边界上，小径与边界的夹角都为.区域和区域内种植郁金香，区域内种植月季花.

（1）探究：观赏小径与的长度之和是否为定值？请说明理由；

（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径，当点在何处时，三条小径的长度和最小？

Answer 1

【答案】（1）为定值，理由见解析；（2）是的中点.

【解析】

（1）根据题意可得，结合正弦定理可分别用表示出与，即可确定是否为定值；

（2）在中，由余弦定理可表示出，结合基本不等式即可得，根据（1）中为定值，即可知不等式取等号的条件，进而确定点的位置及三条小径的长度和.

（1）为等腰直角三角形，小径与边界的夹角都为，

在中，所以，

故由正弦定理可得，

即.

同理.

故

为定值.

（2）在中，由余弦定理可得，

即，

所以，.

又由（1）有，

故，当且仅当时等号成立，

故当点的中点位置时，三条小径的长度和最小为.