Question

已知O为坐标原点，对于函数f（x）=asinx+bcosx，称向量

OM

=（a，b）为函数f（x）的伴随向量，设函数g（x）=

3

sin(

π

2

+x)+cos(

π

2

-x)，
（Ⅰ）求g（x）的伴随向量

OM

的模；
（Ⅱ）若h（x）=g²（x），求h（x）在[0，

π

2

]内的最值及对应x的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用两角和与差的正弦函数及三角恒等变换可得g（x）=sinx+

3

cosx，从而可得a与b的值，继而知

OM

及向量

OM

的模；
（Ⅱ）0≤x≤

π

2

⇒

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，利用正弦函数的单调性与最值即可求得h（x）在[0，

π

2

]内的最值及对应x的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵g(x)=

3

sin(

π

2

+x)+cos(

π

2

-x)=

3

cosx+sinx=sinx+

3

cosx…（3分）
∴

OM

=(1，

3

)，|

OM

|=

1+3

=2…（6分）；
（Ⅱ）由已知可得h(x)=(sinx+

3

cosx)2=sin2x+3cos2x+2

3

sinxcosx=1+2cos2x+

3

sin2x=

3

sin2x+cos2x+2=2sin(2x+

π

6

)+2…（8分）
∵0≤x≤

π

2

，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

…（9分）
∴当2x+

π

6

=

7π

6

即x=

π

2

时，函数h（x）的最小值为1；
当2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

时，函数h（x）的最大值为4；…（12分）

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查三角恒等变换及其应用，突出正弦函数的单调性质与最值的考查，属于中档题．