Question

2．已知函数f（x）=ln（x-2）-$\frac{{x}^{2}}{2a}$，（a为常数且a≠0），若f（x）在x₀处取得极值，且x₀∉[e+2，e²+2]，而f（x）≥0在[e+2，e²+2]上恒成立，则a的取值范围（　　）

• A． a≥e⁴+2e²
• B． a＞e²+2e
• C． a≥e²+2e
• D． a＞e⁴+2e²

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，求得极值点，确定函数的单调性，要使f（x）≥0在[e+2，e²+2]上恒成立，得到关于a的不等式组，求解不等式组可得a的取值范围．

解答 解：由f（x）=ln（x-2）-$\frac{{x}^{2}}{2a}$，得f′（x）=$\frac{1}{x-2}-\frac{x}{a}$（x＞2），令f′（x）=0，可得x₀=1±$\sqrt{a+1}$，
∵f（x）在x₀处取得极值，∴1+$\sqrt{a+1}$＞2，即a＞0．
∴函数在（2，1+$\sqrt{a+1}$）上单调增，在（1+$\sqrt{a+1}$，+∞）上单调减，
又x₀∉[e+2，e²+2]，
∴函数在区间[e+2，e²+2]上是单调函数
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+\sqrt{a+1}＞{e}^{2}+2}\\{f（e+2）≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{e+2＞1+\sqrt{a+1}}\\{f（{e}^{2}+2）≥0}\end{array}\right.$，
解得a＞e⁴+2e² ．
∴a的取值范围是a＞e⁴+2e² ．
故选：D．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，属于中档题．