Question

14．已知双曲线方程为x²-y²=4，过点A（3，1）作直线l与该双曲线交于M，N两点，若点A恰好为MN中点，则直线l的方程为（　　）

• A． y=3x-8
• B． y=-3x+8
• C． y=3x-10
• D． y=-3x+10

Answer 1

分析 由题意可知设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2}=4}\\{{x}_{2}^{2}-{y}_{2}^{2}=4}\end{array}\right.$，求得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，由中点坐标公式可知：x₁+x₂=2×3=6，y₁+y₂=2×1=2，代入可知：直线MN的斜率为k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=3，利用点斜式方程，即可求得直线MN的方程．

解答 解：由双曲线方程为x²-y²=4为等轴双曲线，焦点在x轴上，
过点A（3，1）作直线l与该双曲线交于M，N两点，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2}=4}\\{{x}_{2}^{2}-{y}_{2}^{2}=4}\end{array}\right.$，两式相减可得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
A为MN的中点，
∴x₁+x₂=2×3=6，y₁+y₂=2×1=2，
∴6（x₁-x₂）-2（y₁-y）=0，
则$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{6}{2}$=3，
∴直线MN的斜率为k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=3．
由直线的点斜式方程可知：y-1=3（x-3），整理得：y=3x-8，
故选A．

点评 本题考查双曲线的中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点坐标公式及直线的点斜式方程，考查运算能力，属于中档题．