Question

9．已知双曲线C：4x²-y²=4及直线l：y=kx-1
（1）求双曲线C的渐近线方程及离心率；
（2）直线l与双曲线C左右两支各有一个公共点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，可知焦点在x轴上，则a=1，b=2，c=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x=±2x，离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理可知：x₁•x₂=-$\frac{5}{4-{k}^{2}}$，直线l与双曲线C左右两支各有一个公共点，$\left\{\begin{array}{l}{4-{k}^{2}≠0}\\{△=（2k）^{2}-4（4-{k}^{2}）（-5）＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-5}{4-{k}^{2}}＜0}\end{array}\right.$，即可求得k的取值范围．

解答 解：（1）将双曲线C：4x²-y²=4，化为标准方程得${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，可知焦点在x轴上，
则a=1，b=2，c=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x=±2x，
离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，（4分）
（2）由直线l：y=kx-1，直线l与双曲线C相交于A，B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{4{x}^{2}-{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（4-k²）x²+2kx-5=0，
由韦达定理可知：x₁•x₂=-$\frac{5}{4-{k}^{2}}$（6分）
直线l与双曲线C左右两支各有一个公共点，
$\left\{\begin{array}{l}{4-{k}^{2}≠0}\\{△=（2k）^{2}-4（4-{k}^{2}）（-5）＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-5}{4-{k}^{2}}＜0}\end{array}\right.$，（8分）
解得：k²＜5，且k²＜4，
∴-2＜k＜2，
∴实数k的取值范围是（-2，2）…12分

点评 本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查直线与双曲线位置关系，直线与双曲线的交点问题，考查计算能力，属于中档题．