Question

已知定义域为R的函数f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函数．
（1）求a值；
（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由奇函数性质得f（0）=0，由此可求出a值，注意检验；
（2）利用函数单调性的定义即可判断证明；
（3）利用函数的奇偶性、单调性可把去掉不等式中的符号“f”，从而转化为具体不等式恒成立，从而可求k的范围．

解答：解：（1）由题设，需f(0)=

-1+a

2

=0，
∴a=1，∴f(x)=

1-2x

1+2x

，
经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．
（2）f（x）在定义域R上是减函数．
证明：任取 x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
f(x2)-f(x1)=

1-2x2

1+2x2

-

1-2x1

1+2x1

=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴f（ x₂）-f（ x₁）＜0，即f（ x₂）＜f（ x₁），
∴该函数在定义域R上是减函数．
（3）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函数，∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
由（2）知，f（x）是减函数，∴原问题转化为t²-2t＞k-2t²，
即3t²-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

，
所以实数k的取值范围是：k＜-

1

3

．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及不等式恒成立问题，定义是解决单调性问题的基本方法，而恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．