Question

11．已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列，求证：a₂，a₈，a₅成等差数列．

Answer 1

分析 由S_n是等比数列{a_n}的前n项和，且S₃，S₉，S₆成等差数列，利用等差数列的求和公式及等差数列的性质列出关系式，整理后再利用等差数列的性质化简即可得证．

解答 证明：∵S_n是等比数列{a_n}的前n项和，且S₃，S₉，S₆成等差数列，
∴公比q≠1，且2S₉=S₃+S₆，即2×$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{9}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$，
整理得：2q⁹=q³+q⁶，即2q⁶=1+q³，
两边同乘以a₁q，得2a₁q⁷=a₁q+a₁q⁴，即2a₈=a₂+a₅，
则a₂，a₈，a₅成等差数列．

点评 此题考查了等差数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．