精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数.
⑴ 求函数的单调区间;
⑵ 如果对于任意的总成立,求实数的取值范围;
⑶ 是否存在正实数,使得:当时,不等式恒成立?请给出结论并说明理由.

(1).;(2)⑶详见解析.

解析试题分析:(1)利用求导的基本思路求解,注意导数的四则运算;(2)利用转化思想将问题转化为总成立,只需.借助求导,研究的性质,通过对参数k的讨论和单调性的分析探求实数的取值范围;⑶通过构造函数和等价转化思想,将问题转化为,要使上恒成立,只需.然后利用求导研究函数的最大值,进而证明结论.
试题解析::(1) 由于
所以.       (2分)
,即时,
,即时,.
所以的单调递增区间为
单调递减区间为.                         (4分)
(2) 令,要使总成立,只需.
求导得
,则,()
所以上为增函数,所以.                       (6分)
分类讨论:
① 当时,恒成立,所以上为增函数,所以,即恒成立;
② 当时,在上有实根,因为上为增函数,所以当时,,所以,不符合题意;
③ 当时,恒成立,所以上为减函数,则,不符合题意.
综合①②③可得,所求的实数的取值范围是.                    (9分)
(3) 存在正实数使得当时,不等式恒成立.
理由如下:令,要使上恒成立,只需.                                        &

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数为函数的导函数.
(1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;
(2)若函数,求函数的单调区间.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数是自然对数的底数).
(1)若曲线处的切线也是抛物线的切线,求的值;
(2)当时,是否存在,使曲线在点处的切线斜率与 在
上的最小值相等?若存在,求符合条件的的个数;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知是实数,函数,分别是的导函数,若在区间上恒成立,则称在区间上单调性一致.
(Ⅰ)设,若函数在区间上单调性一致,求实数的取值范围;
(Ⅱ)设,若函数在以为端点的开区间上单调性一致,求的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数.
(1)试问的值是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;
(2)定义,其中,求
(3)在(2)的条件下,令.若不等式恒成立,求实数的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数
(I)若函数上是减函数,求实数的最小值;
(2)若,使)成立,求实数的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设,若在上至少存在一点,使得成立,求的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

是定义在的可导函数,且不恒为0,记.若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶负函数”;若对定义域内的每一个,总有
则称为“阶不减函数”(为函数的导函数).
(1)若既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数的取值范围;
(2)对任给的“2阶不减函数”,如果存在常数,使得恒成立,试判断是否为“2阶负函数”?并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

设函数,其中为实数.
(1)若上是单调减函数,且上有最小值,求的取值范围;
(2)若上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.

查看答案和解析>>

同步练习册答案