Question

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），g（x）=lnx．
（1）当a=1时，求y=g（x）-f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求a的取值范围；
（3）设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入f（x），得到函数y=g（x）-f（x）的解析式，求出x=1时对应点的坐标，求出f^′（1），利用点斜式写出切线方程；
（2）把在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方转化为x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，把参数a分离出后构造函数g（x）=x2-

lnx

x

，利用导函数求该函数的最小值，则a的范围可求；
（3）经分析可知函数h（x）为偶函数，求函数在[-1，1]上的最大值可转化为求函数在[0，1]上的最大值，当a小于等于0时函数f（x）[0，1]上恒大于0且单调递增，问题极易解决，当a大于0时，求出函数f（x）的导函数的零点，根据a的具体范围分段，然后利用导函数的符号得到原函数的单调性，从而得到函数h（x）的最大值情况．

解答：解：（1）当a=1时，y=g（x）-f（x）=lnx-x³+3x，
当x=1时，y=ln1-1³+3×1=2．
y′=

1

x

-3x2+3，y^′|_x=1=1．
所以切线方程为y-2=x-1，即x-y+1=0；
（2）∵在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，
∴x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，得3a≤x2-

lnx

x

在[1，2]上恒成立．
设g（x）=x2-

lnx

x

，则g′(x)=2x-

1-lnx

x2

=

2x3+lnx-1

x2

，
∵2x³-1≥0，lnx≥0，∴g^′（x）≥0，∴g（x）_min=g（1）=1，
∴a≤

1

3

；
（3）因h（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值．
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，
∴h（x）=f（x），F（a）=f（1）=1-3a．
②当a＞0时，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，
（ⅰ）当

a

≥1，即a≥1时，h（x）=|f（x）|=-f（x），
-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）当0＜

a

＜1，即0＜a＜1时，f（x）在[0，

a

]上单调递减，在[

a

，1]单调递增；
1°当f（1）=1-3a≤0，即

1

3

≤a＜1时，
h（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，

a

]上单调递增，在[

a

，1]单调递减，F(a)=-f(

a

)=2a

a

；
2°当f（1）=1-3a＞0，即0＜a＜

1

3

时，
（ⅰ）当-f(

a

)≤f(1)=1-3a，即0＜a≤

1

4

时，F（a）=f（1）=1-3a．
（ⅱ）当-f(

a

)＞f(1)=1-3a，即

1

4

＜a＜

1

3

时，F(a)=-f(

a

)=2a

a

．
综上  F(x)=

1-3a，(a≤ 1 4 ) 2a a ，( 1 4 ＜a＜1) 3a-1，(a≥1)

．

点评：本题考查利用导数求曲线上在某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．考查了数学转化思想和分类讨论的数学思想方法，正确的分类是解答该题的关键，此题属难题．