Question

已知函数f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程及对称中心；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

12

 ，  

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：利用两角差的余弦公式，诱导公式及二倍角正弦公式将f（x）化为一角一函数形式得出f（x）=sin（2x-

π

6

）．
将2x-

π

6

看作整体（1）借助于正弦函数的对称轴方程及对称中心求解（2）先求出2x-

π

6

的范围，再求出值域．

解答：解：f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)
=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)cos(x-

π

4

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin（2x-

π

2

）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x
=sin（2x-

π

6

）．
最小正周期 T=

2π

2

=π，
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z得图象的对称轴方程 x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z
由2x-

π

6

=kπ，k∈Z得x=

kπ

2

+

π

12

，对称中心（

kπ

2

+

π

12

，0），k∈Z
（2）当x∈[-

π

12

 ，  

π

2

]时，2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，由正弦函数的性质得值域为[-

3

2

，1]．

点评：本题考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力，三角函数的图象和性质，整体换元的思想方法．