Question

17．已知函数f（x）=ax²-bx+lnx，a，b∈R．
（1）当a=b=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当b=2a+1时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）求导，因为f（1）=0，f′（1）=2，可直接利用点斜式写出直线方程；
（2）求出f（x）的导函数，对参数a进行分类讨论判断函数的单调性即可．

解答 解：（1）因为a=b=1，所以f（x）=x²-x+lnx，
从而f'（x）=2x-1+$\frac{1}{x}$
因为f（1）=0，f′（1）=2，
故曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-0=2（x-1），即2x-y-2=0
（2）因为b=2a+1，所以f（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，从而
f'（x）=2ax-（2a-1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，x＞0；
当a≤0时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
所以，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
当0＜a＜$\frac{1}{2}$ 时，由f'（x）＞0得0＜x＜1 或x＞$\frac{1}{2a}$，由f'（x）＜0 得1＜x＜$\frac{1}{2a}$
所以f（x）在区间（0，1）和区间（$\frac{1}{2a}$，+∞）上单调递增，在区间 （1，$\frac{1}{2a}$）上单调递减．
当a=$\frac{1}{2}$ 时，因为f'（x）≥0（当且仅当x=1时取等号），
所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
当a＞$\frac{1}{2}$ 时，由f'（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{2a}$或x＞1，由f'（x）＜0 得$\frac{1}{2a}$＜x＜1，
所以f（x）在区间（0，$\frac{1}{2a}$）和区间（1，+∞）上单调递增，在区间（$\frac{1}{2a}$，1）上单调递减．

点评 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及求曲线某点处的切线方程与分类讨论思想，属中等题．