Question

2．某学生在假期进行某种小商品的推销，他利用所学知识进行了市场调查，发现这种商品当天的市场价格与他的进货量（件）加上20成反比．已知这种商品每件进价为2元．他进100件这种商品时，当天卖完，利润为100元．若每天的商品都能卖完，求这个学生一天的最大利润是多少？获得最大利润时每天的进货量是多少件？

Answer 1

分析 根据这种商品当天的市场价格与他的进货量（件）加上20成反比，这种商品每件进价为2元．他进100件这种商品时，当天卖完，利润为100元，求出比例系数，可得利润函数，再换元，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：由题意，设市场价格y元，他的进货量为x件，则y=$\frac{k}{x+20}$，
∵这种商品每件进价为2元．他进100件这种商品时，当天卖完，利润为100元，
∴100=（$\frac{k}{120}$-2）×100，∴k=360，
∴利润L=（$\frac{360}{x+20}$-2）x，
设x+20=t（t≥20），则L=400-（$\frac{7200}{t}$+2t）≤400-240=160，
当且仅当$\frac{7200}{t}$=2t，即t=60，x=40时，最大利润是160元．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，正确求出函数的解析式是关键．