Question

19．已知函数f（x）=|x²-1|，g（x）=x²+ax+2，x∈R，若函数h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有两个不同的零点x₁，x₂，则a的取值范围是$（-\frac{11}{2}，-2\sqrt{6}）$．

Answer 1

分析 由h（x）=f（x）+g（x）+2，可得a的关系式，求出函数的值域，即可求实数a的取值范围．

解答 解：由h（x）=f（x）+g（x）+2，可得a=$\frac{-|{x}^{2}-1|-{x}^{2}-4}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{x}，x∈（0，1）}\\{-（2x+\frac{3}{x}），x∈[1，2]}\end{array}\right.$
x∈（0，1），a=-$\frac{5}{x}$单调递增，且值域为（-∞，-5）；                        
x∈[1，2），k（x）=-（2x+$\frac{3}{x}$）先增后减，
∵k（1）=-5，k（x）_max=-2$\sqrt{6}$，k（2）=-$\frac{11}{2}$，
∴-$\frac{11}{2}$＜a＜-2$\sqrt{6}$．
综上，a的取值范围是$（-\frac{11}{2}，-2\sqrt{6}）$．
故答案为：$（-\frac{11}{2}，-2\sqrt{6}）$．

点评 本题考查解不等式，考查分离参数法的运用，考查函数的值域，属于中档题．