Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

3

，它的上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，直线AF₁，AF₂分别交椭圆于点B，C．
（1）求证直线BO平分线段AC；
（2）设点P（m，n）（m，n为常数）在直线BO上且在椭圆外，过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点Q，满足

MP

NP

=

MQ

QN

，试证明点Q恒在一定直线上．

Answer 1

分析：（1）利用离心率计算公式e=

c

a

=

3

3

，及b²=a²-c²=2c²，可以用c表示a，b，即可表示椭圆的标准方程，进而得到点A，F₁的坐标；与椭圆的方程联立即可解得点B的坐标，利用对称性即可得到点C的坐标，利用中点坐标公式即可得到相等AC的中点坐标，满足直线BO的方程即可；
（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），点Q（x，y），可得2

x

2 1

+3

y

2 1

=6c2，2

x

2 2

+3

y

2 2

=6c2．设

MP

NP

=

MQ

QN

=λ，则

MP

=λ

NP

，

MQ

=λ

QN

，利用向量相等即可得到m，n，x，y用x₁，y₁，x₂，y₂，λ表示，进而得到2mx+3ny为常数即可．

解答：证明：（1）由题意，e=

c

a

=

3

3

，则a=

3

c，b²=a²-c²=2c²，
故椭圆方程为

x2

3c2

+

y2

2c2

=1，
即2x²+3y²-6c²=0，其中A(0，

2

c)，F₁（-c，0），
∴直线AF₁的斜率为

2

，此时直线AF₁的方程为y=

2

(x+c)，
联立

2x2+3y2-6c2=0 y= 2 (x+c)

得2x²+3cx=0，解得x₁=0（舍）和x2=-

3

2

c，即B(-

3

2

c，-

2

2

c)，
由对称性知C(

3

2

c，-

2

2

c)．
直线BO的方程为y=

2

3

x，
线段AC的中点坐标为(

3

4

c，

2 c

4

)，
AC的中点坐标满足直线BO的方程，即直线BO平分线段AC．
（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），点Q（x，y），
则2

x

2 1

+3

y

2 1

=6c2，2

x

2 2

+3

y

2 2

=6c2．
设

MP

NP

=

MQ

QN

=λ，则

MP

=λ

NP

，

MQ

=λ

QN

，
求得m=

x1-λx2

1-λ

，x=

x1+λx2

1+λ

，n=

y1-λy2

1-λ

，y=

y1+λy2

1+λ

，
∴mx=

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

，ny=

y 2 1 -λ2 y 2 2

1-λ2

，
∴2mx+3ny=

2 x 2 1 -2λ2 x 2 2 +3 y 2 1 -3λ2 y 2 2

1-λ2

=

2 x 2 1 +3 y 2 1 -λ2(2 x 2 2 +3 y 2 2 )

1-λ2

=

6c2-6c2λ2

1-λ2

=6c²，
由于m，n，C为常数，所以点Q恒在直线2mx+3ny-6c²=0上．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量共线等基础知识与方法，需要较强的推理能力与计算能力．