Question

如图，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（Ⅰ）F为抛物线C的焦点，若，求k的值；
（Ⅱ）是否存在这样的k，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB，若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出直线l的倾斜角，借助于抛物线的定义，利用平面几何知识求出直线倾斜角的余弦值，则可求正切值，直线的斜率可求；
（Ⅱ）假设存在斜率为k的直线，使得对任意的p，抛物线上总存在点Q，使得QA⊥QB，写出过M点，斜率为k的直线方程，和抛物线联立后，由判别式大于0得到k的一个取值范围，再由QA⊥QB，即得三点Q，A，B的坐标的关系，进一步转化为Q点纵坐标的方程，再由判别式大于等于0求出k的取值范围，取交集后最终得到k的范围．
解答：解（Ⅰ）记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为α，由抛物线的定义知|AM|=，
∴，则，
∴k=±tanα=．
（Ⅱ）存在k，k的取值范围为，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB．
事实上，假设存在这样的k，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB，
设点Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立，得ky²-2py+p²k=0．
则，得：-1＜k＜1且k≠0．
．
又Q、A、B三点在抛物线上，所以
则．
同理．
由QA⊥QB得：，即．
∴，即．
△=4p²-20k²p²≥0，解得，又-1＜k＜1且k≠0．
所以k的取值范围为．
点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，解答的关键是利用直线和圆锥曲线相交转化为方程有根，再利用方程的判别式大于0（或大于等于0）求解．此题属有一定难度类型题．