【题目】设函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)求的零点个数;
(Ⅲ)证明:曲线没有经过原点的切线.
【答案】(Ⅰ)时,在内单调递增;时,,,在区间及内单调递增,在内单调递减;(Ⅱ)有且仅有一个零点;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)本小题要求单调区间,可先求定义域为,再求出导数,研究的根的情况,从而得出的解集,得单调区间;(Ⅱ)函数的零点个数,可利用(Ⅰ)的单调性证明,如当时,在内单调递增,最多只有1个零点,如能说明函数有正有负,则一定有一个零点;当时,在及内单调递增,在内单调递减,是的根,要讨论的正负,从而确定零点个数;(Ⅲ)用反证,假设曲线在点处的切线经过原点,则有,化简得.下面只要证明此方程无解即可,可求函数的最小值,证得结论.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为,.
令,得.
当,即时,,
∴在内单调递增.
当,即时,由解得,
,,且,
在区间及内,,在内,,
∴在区间及内单调递增,在内单调递减.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当时,在内单调递增,
∴最多只有一个零点.
又∵,∴当且时,;
当且时,,故有且仅有一个零点.
当时,∵在及内单调递增,在内单调递减,
且,
,
而,
(∵),
∴,由此知,
又∵当且时,,故在内有且仅有一个零点.
综上所述,当时,有且仅有一个零点.
(Ⅲ)假设曲线在点处的切线经过原点,
则有,即,
化简得:.(*)
记,则,
令,解得.
当时,,当时,,
∴是的最小值,即当时,.
由此说明方程(*)无解,∴曲线没有经过原点的切线.
科目:高中数学 来源: 题型:
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