Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：
①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）成立
②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1 恒成立
（1）求f（1）的．
（2）求f（x）的解析式
（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,综合题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=1可得1≤f（1）≤2|1-1|+1；从而解得；
（2）结合当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）成立及二次函数的性质可求出二次函数的解析式；
（3）由二次函数的性质知，设g（x）=x²+（2t-2）x+t²+2t+1，则恒成立问题可化为g（1）=t²+4t≤0，g（m）=m²+（2t-2）m+t²+2t+1≤0；从而解得．

解答： 解：（1）∵当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1 恒成立，
∴当x=1时，1≤f（1）≤2|1-1|+1；
∴f（1）=1；
（2）∵f（x-1）=f（-x-1），
∴函数f（x）=ax²+bx+c的图象关于x=-1对称，
又∵当x∈R时，f（x）的最小值为0，
∴f（x）=a（x+1）²，a＞0；
又∵f（1）=4a=1；
∴a=

1

4

；
故f（x）=

1

4

（x+1）²；
（3）∵f（x+t）=

1

4

（x+t+1）²≤x，
∴x²+（2t-2）x+t²+2t+1≤0；
设g（x）=x²+（2t-2）x+t²+2t+1，
则g（1）=t²+4t≤0，g（m）=m²+（2t-2）m+t²+2t+1≤0；
则-4≤t≤0，1-t-2

-t

≤m≤1-t+2

-t

，
所以m≤1+4+2•

4

=9，
故m的最大值为9．

点评：本题考查了二次函数的性质及应用，同时考查了恒成立问题及存在性问题的应用，属于中档题．